bacaan huruf Alpha Greek sebagai beberapa simbol besaran fisika

selvita2012.blogspot.com/2015/06/blog-post.html

Hukum Kekekalan Momentum Anguler

Pada gerak melingkar berlaku Hukum Kekekalan Momentum Anguler, Iω = Iω, sehingga jika momen inersia kecil akan memberi efek kecepatan anguler menjadi lebih besar, sebagaimana yang dilakukan oleh pesenam ice scatting berikut :

 

Gerak Parabola

Perhatikan lintasan sepeda motor yang sedang beraksi berikut :

http://dev.galileotoeinstein.com

Lintasan dari sepeda motor tersebut berupa parabola (melengkung), gerak dengan lintasan membentuk parabola disebut gerak parabola, yang merupakan salah satu dari gerak dalam dua dimensi. Bagaimana terjadinya ?

Pada gambar atraksi sepeda motor diatas, terlihat bahwa sepeda motor mengalami perpindahan secara horizontal dan secara vertikal. Secara horizontal sepeda motor menjauh dari posisi awal sedangkan secara vertikal bergerak ke atas kemudian turun kembali.

Ketika benda melayang diudara, secara vertikal benda akan ditarik oleh gaya gravitasi sepanjang geraknya, sehingga karena pada awalnya benda bergerak berlawanan arah dengan arah gaya gravitasi, semakin keatas benda semakin melambat, dan pada akhirnya benda akan berhenti sejenak dan kemudian berbalik arah. Berarti secara vertikal benda bergerak dalam pengaruh gaya dimana gaya yang mempengaruhinya besarnya tetap. Gerak yang dipengaruhi oleh gaya tetap ini akan mengalami percepatan (dalam hal ini perlambatan) sehingga geraknya digolongkan GLBB. Secara horizontal benda tidak dalam pengaruh gaya (jika dianggap gesekan udara kecil) sehingga geraknya  lurus beraturan (GLB). Jadi gerak dengan lintasan parabola disebabkan karena perpaduan antara GLB dan GLBB dalam arah yang saling tegak lurus.

Dalam hal gerak benda yang melayang diudara, GLBB nya adalah pada arah vertikal, dan GLB nya pada arah horizontal.

Tinjauan Fisis Gerak parabola
Pada awal gerak benda dilontarkan dengan arah membentuk sudut (0 < θ < 90) terhadap horizontal, disebut dengan sudut elevasi, dengan kecepatan awal (vo) seperti gambar berikut :

Karena membentuk sudut terhadap horizontal, maka kecepatan awal ini memiliki komponen arah horizontal dan arah vertikal, kita simbolkan v_ox sebagai komponen kecepatan arah horizontal dan v_oy sebagai komponen arah vertikal. Seperti gambar berikut :

Besar v_ox = v_o cos θ, dan besar v_oy = v_o sin θ.

Selanjutnya gerak horizontal mengikuti persamaan gerak lurus beraturan dimana
x = v_o cos θ . t, x adalah jarak horizontal dihitung dari posisi awal .  sepanjang gerak horizontal kecepatannya (v_x) tetap sebesar  v_x = v_o cos θ. Sedangkan pada arah vertikal akan mengikuti persamaan gerak lurus berubah beraturan, yaitu :

v_y = v_o sin θ – gt
y = v_o sin θ . t – ½ gt²  dan
v_y² = v_o²  sin² θ – 2 gy

dimana
g adalah percepatangravitasi, tanda negatif pada g disebabkan arah gerak benda berlawanan dengan gaya tarik gravitasi yang mempengaruhinya.
y adalah posisi vertikal yang tingginya diukur dari posisi awal gerak,
v_y adalah kecepatan arah vertikal disepanjang perjalanan

posisi benda (xi + yj) disepanjang perjalanan mengikuti persamaan berikut :

x = vo cos θ . t
y = vo sin θ .t – ½ gt²

lihat gambar berikut :

kecepatan disepanjang perjalanan merupakan gabungan dari kecepatan arah horizontal dan kecepatan arah vertikal mengikuti persamaan pithagoras :

Dimana :
v_x = v_o cos θ
v_y = v_o sin θ – gt

perhatikan gambar berikut :

Posisi Tititk Puncak

Di titik puncak kecepatan arah vertikal sama dengan nol  (v_y = 0), karena sedang berbalik arah
Jika data v_y = 0 ini dimasukkan dalam persamaan GLBB diperoleh :

v_y    = v_o sin q – gt
0= v_o sin q – gt, diperoleh :

Dimana t adalah waktu mencapai titik puncak selanjutnya diberi simbol “ t_{y max}”

Jika v = 0 ini dimaskukan dalam persamaan GLBB yang lain diperoleh :

v_y² = v_o²  sin² q – 2 gy
0   = v_o²  sin² q – 2 gy,  diperoleh :

Dimana y adalah tinggi puncak dihitung dari posisi awal, selanjutnya diberi simbol “y_max”

Lihat gambar berikut

Posisi titik terjauh

Titik terjauh adalah jarak terjauh yang sejajar dengan posisi awal, pada posisi terjauh ini tinggi benda sama dengan nol ( y = 0), dan waktu mencapai titik terjauh (t_xmax)  adalah dua kali waktu mencapai titik tertinggi, karena secara horizontal tidak ada gaya yang bekerja pada benda, sehingga waktu tempuh mencapai puncak dari posisi awal adalah sama dengan waktu tempuh dari puncak sampai posisi terjauh. (t_{x max} = t_{y max}).

Jika t_{x max} dimasukkan dalam variabel t pada persamaan posisi horizontal x = vo cos θ . t, diperoleh :

Dapat pula disederhanakan menjadi :

Dimana x adalah jarak horizontal  terjauh yang diukur dari posisi awal, selanjutnya diberi simbol “ x_max”

Lihat gambar berikut :

Gerak parabola dari benda yang dilempar mendatar dari suatu puncak

Kecepatan awal langsung sebagai v_ox , tidak memiliki kecepatan awal arah vertikal (v_oy = 0)

Karena gerak vertikal langsung mengarah ke bawah (searah dengan gaya gravitasi) maka percepatan gravitasi bernilai positip.

Posisi di sembarang waktu :
x = v_ox . t
y = ½ gt²
lihat gambar :

Kecepatan disembarang waktu (v) adalah merupakan resultan dari kecepatan arah horizontal (v_x) dan kecepatan arah vertikal (v_y), dihitung dengan rumus phytagoras sbb :

Dimana :
v_x =  v_ox dan v_y = gt

perhatikan gambar berikut :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ANGKA PENTING

Perhatikan gambar berikut :

hasil pengukuran tersebut dinamakan angka penting
Angka penting adalah angka yang diperoleh dari hasil pengukuran, sedangkan angka yang diperoleh dengan membilang disebut bilangan eksak, bilangan eksak  tidak mungkin berupa pecahan. jumlah angka penting dipengaruhi oleh ketelitian alat ukurnya, misal pada penggaris diatas angka yang dapat dituliskan hanya tiga angka yaitu dua lima dan lima, jika benda diukur dengan jangka sorong maka angka yang bisa dituliskan akan lebih banyak lagi.

Aturan Angka Penting
Ketidakpastian hasil pengukuran kadang-kadang tidak disebut secara eksplisit tetapi ditunjukkan dengan angka penting dari besaran yang diukur. Misal tebal buku: 2,51 cm, dua angka pertama yaitu 2 dan 5 adalah angka pasti, sedang angka terakhir yaitu 1 adalah angka tafsiran.

 Aturan penulisan angka penting:

1. Semua angka bukan nol adalah angka penting.
2. Angka nol yang terletak diantara angka bukan nol adalah angka penting.
3. Untuk bilangan desimal yang lebih kecil dari satu, angka nol yang terletak di sebelah kiri angka bukan nol baik di sebelah kiri maupun kanan koma adalah bukan angka penting.
4. Angka nol yang terletak di sebelah kanan angka bukan nol adalah angka penting kecuali ada penjelasan lain, penjelasan ini dapat berupa garis bawah pad angka yang masih dianggap penting:
5. Jika setelah angka digit tertentu lebih dari lima, maka angka digit dibulatkan ke atas dan sebaliknya dibulatkan ke bawah.
6. Hasil penjumlahan dan pengurangan hanya boleh memiliki satu angka tafsiran.
7. Hasil perkalian dan pembagian menghasilkan bilangan yang paling sedikit angka pentingnya dari bilangan yang terlibat dalam operasi perkalian dan pembagian.
8. Memangkatkan dan menarik akar; hasilnya mempunyai angka penting sebanyak angka penting bilangan yang dipangkatkan atau yang ditarik akarnya.

Soal –soal :

1. Seorang anak mengukur panjang meja dan diperoleh angka 0,650 meter. Jumlah angka penting pada hasil pengukuran tersebut adalah ….

1. 6
2. 5
3. 4
4. 3
5. 2

2. Sebuah kotak diukur dan diperoleh lebarnya 12,3 cm dan panjangnya 125,5 cm. Luas kotak mempunyai angka penting sebanyak

1. 6
2. 5
3. 4
4. 3
5. 2

3. Pengukuran alas dan tinggi sebuah penggaris berbentuk segitiga dengan mistar ingsut memberikan hasil pengukuran 12,55 dan 3,50 cm. Luas segitiga tersebut adalah

21. 9 cm²
22. 21,96 cm²
23. 21,963 cm²
24. 21,9625 cm²
25. 22 cm²

4. Panjang dan sisi sebuah persegi panjang adalah 4,8 cm. dan 8,64 cm. Keliling dan lu^gs persegi panjang tersebut adalah ….

1. 13,44 cm dan 41,47 cm²
2. 13,4 cm dan 41,5 cm²
3. 13,4 cm dan 42 cm²
4. 13 cm dan 41 cm²
5. 13,4 cm dan 41 cm²

5. Pada pengukuran tinggi benda, diperoleh hasil pengukuran 0,08070 m. Banyaknya angka penting hasil pengukuran tersebut adalah …

1. 2
2. 3
3. 4
4. 5
5. 6

6. Dari pengukuran besaran-besaran fisi diperoleh hasil sebagai berikut:

• 0,00450 m
• 154 volt
• 14,5 s
• 2,00 x 10² kg

Yang memiliki tiga angka penting adalah ….

1. (1) dan (2)
2. (2) dan (4)
3. (1), (2), dan (4)
4. (4) saja
5. Semuanya

7. Seorang siswa diminta menyatakan hasil per­hitungan yang diperolehnya dari suatu perco­baan dengan 4 angka penting. bilangan ma­nakah di bawah ini yang akan dituliskannya?

1. 0,043 0,043 000
2. 0,0430 0,043 0000
3. 0,04300

8. Hasil pengukuran panjang dan lebar suatu lan­tai adalah 12,61 m dan 5,2 m. Menurut aturan angka penting, luas lantai tersebut adalah ….

1. 65 m² 65,572 m²
2. 65,5 m² 66 m²
3. 65,57 m²

Gerak Dalam Dua Dimensi

Perhatikan gambar berikut :

beberapa lengan lengan robot begitu cekatan menyelesaikan pekerjaan pembuatan mobil, mereka bekerja secara otomatis dengan akurasi yang sangat tinggi, tanpa lelah, tanpa mengeluh. tentunya itu dirancang menggunakan suatu program dimana posisi-posisi yang harus melakukan sesuatu diperhitungkan secara cermat, sehingga dapat dilakukan secara berulang-ulang. sebagai dasar dari penetapan posisi-posisi tersebut tentu perlu ditetapkan koordinat-koordinat dalam ruang (tiga dimensi).
Pada bab ini kalian akan mempelajari dasar-dasar gerak dalam dua atau tiga dimensi sehingga kalian memiliki kemampuan menganalisis gerak menggunakan vektor satuan.

Perhatikan gambar di bawah ini :

Posisi titik A dinyatakan dalam vektor satuan adalah rA = –i + 3j, dimana 1 dan 3 menyatakan besar masing-masing komponen , i dan j menyatakan arah masing-masing komponen.
selanjutnya posisi titik B adalah rB = 4i + 3j, poisisi titik C adalah 2i – 3j.
jika kemudian ada benda bergerak dari satu titik ke titik yang lain, maka perpindahannya dapat dinyatakan dalam vektor satuan perpindahan,
Δr = Δxi + Δyj,
besar perpindahan dihitung menggunakan perhitungan :
|Δr| = √(Δx² + Δy²),
kemudian untuk menyatakan arah perpindahan dinyatakan dalam sudut (θ) dalam derajad, dengan acuan arah sumbu x positif adalah nol derajat, kemudian arah dihitung berputar berlawanan jarum jam. untuk menetukan besarnya arah perpindahan digunakan fungsi tangen :
tan θ = Δy/Δx , atau
θ = tan−¹Δy/Δx
contoh :
sebuah benda bergerak dari titik A menuju titik B. disini titik A sebagai titik awal dan titik B sebagai titk akhir, maka perpindahan dari A ke B dinyatakan dengan
ΔrAB = rB – rA
= (4i + 3j) – (-i + 3j)
= (4 – (-1)) i + (3 – 3) j
= 5i 

Besar perpindahannya adalah :
|ΔrAB| = √(5²) = 5 satuan

arah perpindahannya :
θ = tan-¹(0/5)
= tan-¹(0)
= 0 (berada pada arah vektor satuan i).

Posisi benda yang bergerak
benda yang bergerak dapat pula dinyatakan dengan suatu persamaan, dimana pada persamaan gerak memuat variabel waktu, sehingga ketika nilai waktu diubah-ubah, maka posisi benda juga akan berubah. contohnya :
rA = (2t^2 + 2)i + (3t + 2)j,
posisi awal                  : r(0) = 2i + 2j
posisi detik pertama : r(1) = 4i +5j
posisi detik ke dua    : r(2) = 10i + 8j   dst.
nampak bahwa ketika waktu berubah posisi benda juga berubah

Kecepatan dalam gerak dua/tiga dimensi
kecepatan dibedakan menjadi dua, yaitu kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. perbedaan keduanya adalah pada pengambilan waktu penghitungan. untuk kecepatan rata-rata memiliki rentang waktu yang dapat dihitung dengan mudah, sedangkan kecepatan sesaat adalah pada perhitungan rentang waktu yang sangat pendek, hampir mendekati nol (biasa disebut limit  Δt mendekati nol ).

Menghitung Kecepatan Rata-rata
dihitung dulu nilai r₁ dan r₂ kemudian dimasukkan pada persamaan berikut :

Besar kecepatan rata-rata :

Arah kecepatan :

Menghitung kecepatan sesaat  (v)
Dihitung menggunakan bantuan fungsi deferensial (fungsi turunan). Masing-masing komponen arah kecepatan diturunkan sendiri-sendiri sebagai berikut :

Untuk menghitung besar kecepatan sesaat dan arah kecepatan sesaat caranya sama hanya berbeda lambang saja yaitu :
Besar kecepatan sesaat :Arah kecepatan :

Contoh :
Sebuah partikel yang sedang bergerak memiliki persamaan posisi sebagai fungsi waktu yang dinyatakan dalam persamaan : r = (3t² + 5t) i + (2t + 3) j , dimana r dalam meter dan t dalam sekon, tentukan :

1. Vektor, besar dan arah kecepatan untuk dua detik pertama
2. Vektor, besar dan arah kecepatan pada detik ke dua

Jawab :
Kecepatan dua detik pertama secara teori adalah kecepatan rata-rata, karena ada interval waktu, sehingga untuk menghitungnya kita menggunakan rumus kecepatan rata-rata sebagai berikut :

Tentukan dulu posisi saat awal perhitungan r(0) yaitu dengan memasukkan waktu awal (t = 0) ke dalam persamaan sehingga diperoleh :
r(0) = (3(0)² + 5(0)) i + (2(0) + 3) j = 3j
r(2) = (3(2)² + 5(2)) i + (2(2) + 3) j = 22 i + 7 j

kemudian nilai r(0) dan r(2) dimasukkan dalam rumus kecepatan rata-rata dengan memisahkan komponen  arah i dan arah j :

Jadi vektor kecepatan rata-rata yang dimaksud adalah :

Besar kecepatan rata-rata :

Jadi besar kecepatan rata-rata yang dimaksud adalah :

Arah kecepatan rata-rata :

jadi arah kecepatan rata-rata yang dimaksu
θ =  = 10,3^o

Arah ini dihitung dari arah vektor i diputar berlawanan arah jarum jam seperti ditunjukkan pada gambar berikut :

2. kecepatan pada detik ke dua artinya kecepatan pada saat detik kedua sehingga perhitungannya menggunakan fungsi deferensial sbb :

kemudian dimasukkan nilai waktu yang diketahui ( t = 2 )
v (t) =  6(2) i + 2 j = 12 i + 2 j

Jadi vektor kecepatan pada detik ke dua yang dimaksud adalah :
v (2) = 12 i + 2 j

Besar kecepatan sesaat :

Jadi besar kecepatan pada detik kedua yang dimaksud adalah :

Arah kecepatan pada saat detik ke dua adalah :

Jadi arah kecepatan pada detik kedua yang dimaksud adalah :
θ    = 9,5^o  dihitung dari arah +i

Menentukan percepatan
Percepatan adalah besar perubahan kecepatan  dalam satu satuan waktu. Percepatan dibedakan menjadi percepatan rata-rata dan percepatan sesaat. Perbedaannya adalah pada interval waktu, percepatan rata-rata memiliki interval waktu yang besar, percepatan sesaat adalah percepatan pada saat tertentu atau dengan interval waktu yang sangat singkat (mendekati nol).

Menghitung Percepatan Rata-rata  
Menentukan dulu nilai v₁ dan v₂ kemudian dimasukkan pada persamaan berikut :

Besar pecepatan rata-rata :

Arah percepatan :

Menghitung Percepatan Sesaat  (a)
Dihitung menggunakan bantuan fungsi deferensial (fungsi turunan) Masing-masing komponen arah percepatan diturunkan sendiri-sendiri sebagai berikut :

Untuk menghitung besar percepatan  sesaat dan arah percepatan sesaat caranya sama hanya berbeda lambang saja yaitu :
Besar percepatan sesaat :

Arah percepatan :

Contoh :
Sebuah partikel bergerak dengan perubahan kecepatan terhadap waktu memenuhi persamaan v = 5t i + (3t + 4) j, dimana v dalam meter/sekon, dan t dalam sekon, tentukan :
1. Percepatan dua detik pertama (nyatakan dalam vektor, besar dan arah)
2. Percepatan pada detik ke dua (nyatakan dalam vektor, besar dan arah)

 Jawab :
Percepatan dua detik pertama artinya adalah percepatan rata-rata sehingga perhitungannya menggunakan rumus :

pertama tentukan kecepatan saat t = 0 dan saat t = 2 sekon :
v(0) = 5(0) i + (3.0 + 4) j = 4j
v(2) = 5(2) i + (3.5 + 4)j = 10i + 19j

Vektor percepatan rata-ratanyang dimaksud adalah :

Besar percepatan rata-rata

Besar percepatan rata-rata yang dimaksud adalah 9,01 m/s².

Arah percepatan rata-rata adalah :

Arah percepatan yang dimaksud adalah 56^o (dihitung dari arah sb x positip berputar berlawanan arah jarum jam

Percepatan pada detik ke dua artinya percepatan sesaat, untuk menentukannya digunakan fungsi deferensial dari persamaan kecepatan sebagai berikut :

Jadi percepatan dalam bentuk vektor yang dimaksud adalah 5i + 3j, karena tidak ada variabel waktu (t) maka percepatan gerak partikel tersebut adalah percepatan tetap, artinya kapanpun percepatannya tidak berubah.

Besar percepatan sesaat :

 Arah  percepatan  sesaat :

Arah percepatan sesaat yang dimaksud adalah 30,1^o dari arah sumbu x berputar berlawanan jarum jam, seperti gambar berikut :

Menentukan kecepatan dari persamaan percepatan
Pada beberapa kasus,  data yang diketahui bisa berupa percepatan atau kecepatan, sedangkan yang dicari kecepatan atau posisi. Untuk dapat menghitung kecepatan dari data percepatan atau untuk menghitung posisi dari data kecepatan diperlukan bantuan fungsi “integral” yang merupakan kebalikan dari fungsi deferensial. Secara praktis cara menggunakan fungsi integral adalah sebagai berikut :

Jika diketahui y = atⁿ, maka integral dari y ditulis  :

Contoh : diketahui y = 6t², maka

Menggunakan fungsi integral untuk menghitung kecepatan jika diketahui persamaan percepatan
Digunakan rumus berikut :

Dimana v_o adalah kecepatan pada saat t = 0, biasanya diketahui dari data.

Contoh :

Sebuah partikel yang sedang bergerak memiliki persamaan percepatan a = 4t i + j, dimana a dalam m/s² dan t dalam sekon, mula-mula partikel bergerak dengan keceptan 2i + j m/s, tentukan besar kecepatan pada detik ke dua !

Jawab :
Langkah pertama kita membuat terlebih dahulu persamaan umum kecepatan dari data persamaan percepatan menggunakan rumus :
Diperoleh :

Persamaan terakhir adalah persamaan umum vektor kecepatan yang dimaksud, sekarang kita masukkan nilai t = 2 ke dalam persamaan :

Untuk menghitung besar kecepatan tersebut digunakan persamaan pithagoras sebagai berikut :

 

Menentukan posisi dari persamaan kecepatan
Pada prinsipnya sama dengan menentukankecepatan dari persamaan percepatan diatas, yaitu dengan menggunakan fungsi integral, hanya berbeda simbolnya, yaitu :

Dimana r_o adalah posisi benda pada saat t = 0, biasanya diketahui dari data.

Contoh :
Sebuah titik massa bergerak dengan perubahan kecepatan mengikuti persamaan  : v = 2t i + t j, dimana v dalam m/s dan t dalam sekon. Tentukan posisi titik massa tersebut pada detik ke 3, jika posisi awal berada pada i + j.

Jawab :
Langkah pertama membuat dulu persamaan posisi secara umum menggunakan rumus

Persamaan terakhir adalah persamaan umum posisi pada saat t sekon. Berikutnya kita masukkan data waktu t = 3 sekon ke dalam persamaan diperoleh :

Persamaan terakhir adalah adalah persamaan posisi pada detik ke tiga sebagaimana yang ditanyakan.

 

 

 

GETARAN HARMONIS

Perhatikan gambar berikut :

Sebuah bandul  yang digantung pada sebuah pegas bergerak naik turun dari titik o-p-o-q-o dan terus berulang. Titik o adalah titik dimana ketika pegas dalam keadaan diam, bandul akan berada pada titik tersebut. Titik o disebut titik kesetimbangan. Posisi paling jauh dari titik o (titik setimbang) disebut Amplitudo (A).

Bandul bergerak bolak-balik dan selalu melewati titik kesetimbangan. Gerak demikian disebut dengan getaran, dengan menganggap tidak ada gaya luar yang bekerja kecuali gaya pegas, maka gerak tersebut akan berlangsung terus menerus.

Gerak bolak balik bandul yang diikat pada ujung pegas tersebut, sama dengan gerak melingkar titik ditepi lingkaran yang  diproyeksikan pada  sumbu y.  seperti ditunjukkan gambar saat bandul pada pegas berada di posisi a, maka posisinya sama dengan titik pada lingkaran a’, sehingga simpangan bandul yang berayun y pada pegas dapat ditentukan dengan menggunakan perhitungan proyeksi jarak titik a’-o’,

Sehingga simpangan titik a pada ayunan pegas (y)  dari posisi titik setimbang o adalah :

y = A sin θ ,

untuk simpangan (y) yang selalu bergerak maka sudut θ dinyatakan dengan variabel t sehingga persamaan simpangan ditulis menjadi :

y = A sin ωt,

jika posisi awal tidak di titik setimbang,maka persamaan simpangan ditulis menjadi :

y = A sin (ωt + θ_o)

Dimana :
A = Amplitudo
ω = kecepatan sudut
t = waktu getar
θo = sudut awal  perhitungan
y = simpangan
ωt = sudut fase
t/T= fase

Persamaan diatas adalah persamaan posisi benda yang melakukan getaran disekitar titik kesetimbangan perubahan simpangan diperoleh bersamaan dengan perubahan waktu getarnya.

Didalam nilai kecepatan sudut dapat diketahui periode dan frekwensi getaran., karena kecepatan sudut dapat diuraikan menjadi :

ω = 2π/T dan

ω = 2πf

Misalkan sebuah titik bergerat dengan amplitudo 10 cm dan frekwensi 5Hz, dengan posisi awal getaran berada pada sudut fase π/4. Maka persamaan getaran titik tersebut dapat dihitung dengan menghitung terlebih dahulu kecepatan sudutnya :

ω = 2πf = 2 π 5

θo = π/4

A = 0,1 m

Sehingga persamaan simpangan getarannya adalah :

Y = 0,1 sin (10πt + π/4)

Dengan persamaan ini posisi titik pada setiap saatnya dapat diketahui dengan mengubah niai variabel t.

Gaya Pulih
Gaya yang menjadikan sebuah benda mengalami getaran harmonis. gaya ini diperhitungkan berdasarkan Hukum II Newton pada gerak melingkar yang diproyeksikan pada gerak harmonik yaitu :
dimana :
m = massa benda yang bergetar
ω = kecepatan sudut
x = simpangan

Pada geteran pegas sumber gaya pulih  adalah gaya pegas F = -kx, seperti gambar berikut :

dimana arahnya selalu berlawanan dengan simpangan benda dari titik setimbangnya
sehingga :

Rumus terakhir menunjukkan besaran yang mempengaruhi periode ayun sebuah getaran pegas, yaitu massa beban yang digantung dan konstanta pegas, menurut rumus tersebut, makin besar massa beban makin lama periode getarannya. secara matematis hubungan periode dan massa beban dapat dinayatakan dalam grafik  (T²-m) :
grafik diatas menunjukkan bahwa hubungan antara kuadrat periode getaran dengan massa benda adalah linier,

Pada getaran pendulum, sumber gaya pulih dapat ditunjukkaan dengan gambar berikut :

dari gamber diketahui bahwa gaya yang arahnya menuju titik setimbang adalah komponen gaya berat yang besarnya sama dengan mg sin θ, jika sudut θ kecil, maka nilai sin θ = x/L, sehingga diperoleh hubungan :

Rumus terakhir menunjukkan besaran yang mempengaruhi periode ayun sebuah pendulum, yaitu panjang tali dan percepatan gravitasi, menurut rumus tersebut, makin panjang tali makin lama periode getarannya. secara matematis hubungan periode dan panjang tali dapat dinayatakan dalam grafik  (T²-L) :

grafik diatas menunjukkan bahwa hubungan antara kuadrat periode getaran dengan panjang tali adalah linier, 

KECEPATAN GETARAN HARMONIS
Yang dimaksud dengan kecepatan disini adalah  kecepatan gerak benda ketika berayun, secara mudah dapat diturunkan dari  fungsi posisi :

kecepatan maksimum dicapai jika nilai cosinusnya adalah 1, yaitu ketika nilai sudut fasenya adalah 0, 180, 360 dan seterusnya, artinya  kecepatan maksimum dicapai ketika benda berada pada titik setimbangnya. dan kecepatan benda yang bergetar akan minimum ketika di simpangan terjauh atau pada posisi amplitudo.

PERCEPATAN GETARAN 
Yang dimaksud dengan percepatan disini adalah  besarnya perubahan kecepatan  gerak benda ketika berayun, secara mudah dapat diturunkan dari  fungsi kecepatan :
percepatan maksimum dicapai jika nilai sinusnya adalah 1, yaitu ketika nilai sudut fasenya adalah 90, 270,  dan seterusnya.
tanda negatif dari percepatan menunjukkan bahwa arah percepatan berlawanan dengan arah simpangannya.

ENERGI POTENSIAL GETARAN HARMONIS
secara perhitungan diturunkan dari Energi potensial pegas :
Nilai maksimum energi potensial diperoleh ketika simpangannya (y) maksimum, atau dalam fungsi sinus nilai maksimumnya ketika nilai sinusnya sama dengan 1. (ωt=90º)

ENERGI KINETIK GETARAN HARMONIS
Energi kinetik getaran harmonis secara perhitungan diperoleh dari rumus energi kinetik umum (½ mv²) :

berdasarkan rumus tersebut, energi kinetik maksimum diperoleh pada pada saat benda berada di titik setimbang (cos ωt = 0).

ENERGI MEKANIK GETARAN PEGAS
Adalah jumlah dari energi kinetik dan energi potensial getaran (Em = Ek + Ep).
bahwa energi mekanik pada getaran harmonis sepanjang tidak ada gaya yang bekerja dari luar, bersifat kekal hanya saja komponen didalamnya mengalami perubahan yaitu  energi potensial dan energi kinetiknya. perubahan besar energi potensial, energi kinetik dan energi menakniknya ditunjukkan pada grafik berikut :
dari grafik dijelaskan bahwa antara energi kinetik dan energi potensial pada getaran harmonik berubah-ubah sepanjang getaran dengan perubahannya membentuk pola berulang (pola sinus dan pola cosinus), sedangkan energi mekaniknya tetap. energi kinetik getaran mencapai nilai maksimum ketika berada di titik setimbang, sedangkan energi potensial mencapai nilai maksimum ketika berada pada simpangan yang paling jauh. pada perubahan Ep dan Ek, ketika nilai Ep berkurang, maka nilai Ek akan bertambah, demikian sebaliknya.

ENERGI

Energi sering dinyatakan sebagai kemampuan melakukan usaha, jadi benda yang memiliki energi dapat melakukan usaha. usaha maksimal yang dilakukan oleh benda tergantung dari besarnya energi yang dikeluarkan. dapat dinyatakan dalam persamaan :

W = ΔE

Energi jenisnya bermacam-macam, misalknay ada energi potensial yang dimiliki benda karena keadaanya, misal ada energi potensial gravitasi, yang dimiliki benda karena letak ketinggiannya, ada enegi potensial listrik, energi potensial elastisitas dll.

pada materi ini akan dibicarakan lebih jauh adalah energi mekanik, dimana energi ini merupakan gabungan dari energi potensial dan energi kinetik (energi yang dimiliki oleh benda yang bergerak).

Energi Potensial Gravitasi
Energi pada benda yang muncul karena benda berada pada suatu ketinggian dari titik acuan,
Besar energi potensail gravitasi tergantung pada massanya, percepatan gravitasi dimana benda itu berada dan ketinggiannya dihitung dari acuan yang ada dibawahnya.
dalam rumus dinyatakan sebagai :

Ep = mgh

dimana :  m = massa (kg)
g  = percepatan gravitasi (m/s²)
h  = tinggi benda dari acuan dibawahnya (m)

Perhatikan gambar berikut :

Bola A dan B berada pada bidang datar yang sama, tetapi bola A berada diatas meja dan bola B berada diatas lantai, maka bola B memiliki ketinggian lebih besar dari acuan dari pada bola A, maka energi potensial bola B lebih besar dari pada enertgi potensial bola A.

Energi Potensial Pegas
Energi ini dimiliki oleh benda-benda elastis, energi ini muncul ketika benda-benda elastis ukurannya berubah dari ukuran ketika dalam posisi bebas, misalnya, sebuah karet kitika ditarik, maka karet itu akan memiliki energi potensail pegas, jika ditarik makin kuat , maka energi potensial pegasnya makin besar.

Ketika pegas dalam keadaan bebas tidak memiliki energi namun ketika pegas ditekan,maka energi potensialnya akan muncul, sehingga dalat melontarkan benda didekatnya. besar energi potensial pegas dirumuskan :

Ep = ½ kx²

dimana : k = konstanta pegas (N/m)
x = pertambahan panjang (m)

menurut persamaan tersebut, energi potensial pegas akan makin besar jika pegas ditarik atau ditekan makin besar, konstanta pegas menunjukkan besar gaya yang diperlukan untuk mengubah panjang pegas, makin besar konstanta pegas makin besar gaya yang dibutuhkan untuk mengubah ukurannya, misal pegas pada kaki mobil tentunya memiliki konstanta yang lebih besar dari pada pegas yang ada didalam bolpoint. dalam hal energi potensialnya, makin besar konstanta pegas makin besar pula energi yang dimiliki ketika di ubah ukurannya.

Energi Kinetik
Energi kinetik dimiliki oleh benda yang sedang bergerak, sehingga energi ini besarnya tergantung pada kecepatan benda, makin cepat benda bergerak maka energi kinetiknya akan semakin besar.

Besar energi kinetik benda dihitung dengan rumus :

Ek = ½ mv²

dimana : m  = massa benda (kg)
v  = kecepatan benda (m/s)

menurut rumus tersebut, massa benda juga berpengaruh pada besar enerti kinetik, jika massa benda besar, maka energi kinetiknya juga besar. energi kinetik menjadi besar sekali ketika massa benda besar dan benda bergerak makin cepat.

Energi Mekanik
Energi mekanik adalah gabungan dari energi potensial dan energi kinetik, dalam rumus energi mekanik dinyatakan dengan :

Em = Ep + Ek

Usaha dan Kekekalan Energi

Perhatikan gambar berikut :

Berapa Usaha yang dilakukan oleh orang tersebut, jika piaraannya tidak mau ditarik, malah diam aja, padahal orang tersebut sudah mengeluarkan tenaga maksimal.

USAHA
Suatu gaya dikatakan melakukan usaha apabila benda yang dikenainya dapat berpindah. Besar usaha  dihitung berdasarkan jarak tempuh berpindahnya  benda dikalikan besar gaya yang sejajar dengan gerak benda.

Pada rumus usaha diatas, memuat sudut (aplha), dalam hal ini, sudut alpha adalah sudut apit terkecil antara arah gaya dan arah perpindahan. Menurut rumus tersebut, jika sudut antara arah gaya dan arah perpindahannya saling tegak lurus, maka gaya yang diberikan pada benda tidak menghasilkan usaha, seperti contoh berikut :

terdapat tiga gaya yang bekerja pada balok. yaitu gaya normal (N) , gaya berat  dan gaya luar (F). balok berpindah sejauh s, penyebab perpindahan balok tersebut adalah gaya F cosΘ, sehingga gaya F cos Θ itulah yang menghasilkan usaha. sedangkan gaya normal dan gaya berat karena tegak lurus dengan arah perpindahan, maka tidak melakukan usaha, dengan kata lain gaya normal dan gaya berat tidak memberi kontribusi pada perpindahan benda.

Untuk gaya yang arahnya berlawanan dengan perpindahan benda, berarti antara arah gaya dan arah perpindahan memiliki sudut apit 180°. dimana nilai cos 180° adalah (-1), maka usaha yang dilakukan adalah negatif.

Jika dalam perjalanan gaya yang bekerja besarnya konstan, maka hubungan gaya dan perpindahan digambarkan dalam grafik fungsi F-s :

Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pada benda dapat dihitung dengan rumus W = F . s, sedangkan luas daerah dibawah grafik fungsi F-s dapat dihitung dengan rumus panjang x lebar, dimana panjangnya adalah s dan lebarnya adalah F, maka jika usaha dinyatakan dalam grafik  fungsi F-s usaha dapat dihitung dengan menghitung luas daerah di bawah grafik.

Latihan :

1. Perhatikan gambar  (1) yang di bagian akhir latihan ini,  hitunglah besar usaha yang dilakukan oleh gaya F, gaya N dan gaya W , jika benda berpindah sejauh 2m
2. Perhatikan gambar (2) yang ada dibagian akhir latihan ini, hitunglah usaha yang selama perpindahan dilukiskan pada grafik tersebut.
3. Perhatikan gambar (3) yang ada dibagian akhir latihan ini, hitunglah usaha yang dilakukan oleh gaya berat
4. Perhatikan gambar (4) yang ada dibagian akhir latihan ini, hitunglah usaha total yang dilakukan oleh gaya yang bekerja pada benda yang besarnya selama perpindahan diilustrasikan pada gafik tersebut.

 
                             gbr 1.                                                                         gbr 2.

                    gbr 3.                                                                                  gbr 4.

HUKUM KEKEKALAN ENERGI MEKANIK
bahwa energi tidak dapat dicipta dan tidak dapat dimusnahkan, energi hanya dapat diubah bentuknya. sebagaimana energi mekanik, sebuah benda yang memiliki energi mekanik pada awalnya, maka besarnya akan tetap, tetapi unsur di dalamnya yang berisi energi potensial dan energi kinetiknya bisa mengalami perubahan, ketika energi potensial benda menurun, maka energi kinetiknya akan meningkat. sehingga jumlah energi mekaniknya selalu tetap. seperti contoh pada gerak benda jatuh. pada titik tertinggi energi mekaniknya semua berupa energi potensial. ketika benda bergerak kebawah, maka energi potensialnya akan makin berkurang, pada sisi lain, gerak benda makin cepat, sehingga energi kinetiknya bertambah. ketika benda hampir menyentuh bidang acuan, energi potensialnya menjadi nol, dan seluruhnya berubah menjadi energi kinetik, anggap tidak ada energi yang muncul dalam bentuk lain, seperti misalnya ada energi panas.
perhatikan gambar berikut :

di titik tertinggi Em = Ep
diperjalanan Em = Ep + Ek
dititik terendah Em = Ek

GERAK PLANET

Perhatikan gambar  berikut :

gerak planet

Bagaimana Planet-planet bisa mengelilingi matahari dalam jangka waktu yang sangat lama ?

berdasarkan hukum II Newton pada gerak melingkar, bahwa benda yang bergerak melingkar disebabkan karena adanya gaya sentripetal yang dialami benda yang arahnya menuju ke pusat lingkaran. besar gaya sentripetal tersebut secara umum dinyatakan dengan persamaan :

 

dimana m adalah massa benda yang berevolusi, v adalah kecepatan benda berevolusi , dan r adalah jari jari putaran. Untuk kasus planet mengelilingi matahari, gaya sentri petalnya berasal dari gaya tarik (gaya gravitasi) antara matahari dan planet, yang besarnya adalah :

dimana M adalah massa matahari dan m adalah massa planet, r adalah jarak rata-rata planet ke matahari. dari dua persamaan terakhir dapat dituliskan sebagai :

yang diuraikan menjadi :

 sehingga jika persamaan diatur akan menjadi :

dimana :

G = Konstanta gravitasi Umum = 6,67 x 10^-11 Nm2/kg2

M = Massa matahari (massa yang dikelilingi)

r = jari-jari lintasan.

Persamaan terakhir digunakan utuk menghitung kecepatan tangensial suatu benda yang berevolusi mengelilingi benda lain. Menurut persamaan tersebut, jika massa benda yang dikelilingi makin besar, maka  butuh kecepatan yang makin besar juga agar tidak ketarik ke pusat massa yang dikelilinginya. untuk jarak yang makin jauh dari pusat benda yang dikelilingi, kecepatan dapat makin kecil. karena  jika kecepatan besar, maka benda yang mengelilingi dapat mengatasi tarikan dari massa sumber atau massa pusat, sehingga planet dapat menjauhi massa sumber maka tidak lagi mengelilingi massa sumber. planet-planet yang terbentuk sekarang, pada proses pembentukan tata surya telah  mengalami penyesaian sehingga gaya tarik matahari terhadap planet sudah seimbang dengan lontaran awal masing-masing planet.

untuk benda yang mengelilingi bumi, misal satelit maka kecepatan yang diperlukan agar dapat mengimbangi tarikan gravitasi bumi dihitung dengan persamaan :

dimana Fsp adalah gaya sentripetal benda yang bergerakmelingkar dan Fg adalah gaya tarik bumi dan benda atau dikenal dengan nama berat benda, jika kemudian diraikan hubungan gaya sentripetal (Fsp) dengan gaya gravitasi (Fg) diperoleh :

yang bila dimodifikasi diperoleh :

dimana r adalah jari-jari lintasan satelit.

Persamaan terakhir digunakan utuk menghitung kecepatan orbit satelit yang mengelilingi bumi. Menurut persamaan tersebut kecepatan satelit dipengaruhi jari-jari lintasannya, makin jauh dari bumi maka kecepatan satelit harus makin besar agar posisi satelit dapat selalu berada di atas posisi yang dikehendaki. karena harus mengikuti rotasi bumi.

Latihan 3 :

1. Planet A dan B sama-sama mengelilingi sebuah bintang, perbandingan jarak planet A dan B terhadap bintang yang dikelilingi masing masing adalah rA dan rB = 4 : 1, tentukan perbandingan kecepatan planet A dan B dalam mengelilingi bintang.
2. sebuah planet mengelilingi matahari dengan kecepatan v, jika planet tersebut berada pada jarak r dari matahari. jika planet x  berada pada jarak 9r dari matahari, berapakan kecepatan planet tersebut dalam mengelilingi matahari ?
3. sebuah satelit diorbitkan pada ketinggian 1/4 jari jari dari pusat bumi. berapa seharusnya kecepatan satelit tersebut ?

MEDAN GRAVITASI

Perhatikan gambar berikut :

Pertanyaan : mengapa astronot ketika berada di bulan, jalan mereka melompat-lompat ?

Medan gravitasi adalah daerah disekitar benda yang bermassa (biasa disebut massa sumber) dimana jika ada benda lain yang memiliki massa (massa uji)  masih dapat mengalami tarikan oleh massa sumber. daerah ini sebenarnya tidak berbatas, tetapi makin jauh dari massa sumber tentunya makin berkurang besarnya. secara kuantitatif besar  medan gravitasi ini diberi nama Kuat medan gravitasi atau biasa disebut juga Percepatan Gravitasi. untuk menentukan besar dan apa saja yang berpengaruh pada kuat medan gravitasi ini maka perlu mengingat kembali hukum II Newton, dimana pada hukum tersebut menjelaskan besaran yang mempengaruhi percepatan.

Menurut hukum II Newton bahwa ketika sebuah benda bermassa m, diberi gaya F yang nilainya tidak nol, seperti gambar berikut :

maka benda akan bergerak dengan percepatan a.

ketika sebuah mangga lepas dari tangkainya, maka mangga tersebut akan segera jatuh, ini berarti pada mangga tersebut ada yang menarik ke bawah. menurut hukum gravitasi umum Newton, gaya yang menarik mangga tersebut berasal dari gaya tarik antara mangga dengan bumi, dimana karena ukuran mangga lebih kecil maka mangganya yang bergerak mendekati permukaan bumi. seperti juga ketika ada dua regu sedang bertanding tarik tambang, meskipun sama-sama menarik lawan, tetapi regu yang lebih lemah yang akan bergerak mendekati regu yang lebih kuat.

Besar gaya yang menarik mangga tadi besarnya adalah :

dimana M adalah masa bumi yang memiliki nilai lebih besar disebut juga massa sumber dan m adalah massa mangga yang memiliki nilai lebih kecil yang disebut massa uji. massa uji ini yang bergerak. Menurut Hk II Newton yang dinyatakan secara matematis :

massa m adalah massa benda yang bergerak. berarti pada kasus buah mangga yang jatuh tadi, maka masa buah mangga itulah yang dimaksud dengan massa pada hukum II Newton tersebut, sehingga besar percepatan mangga jatuh (g) adalah :

sehingga besar percepatan gravitasi buah mangga yang jatuh tadi adalah :

dimana

M  = massa sumber (kg)

r    = jarak benda dari pusat massa sumber (m)

G  = Konstanta umum gravitasi (6,67 x 10^-11 Nm2/kg2)

g   = percpatan gravitasi (m/s2)

Persamaan tersebut berlaku pada semua benda yang berada didekat  benda  M.

Menurut persamaan tersebut, besar percepatan gravitasi benda yang berada di dekat massa sumber (M), ditentukan oleh besar massa sumber dan jarak benda dari pusat massa sumber. makin besar massa sumber  makin besar  kuat medan  gravitasinya dan makin jauh benda dari pusat massa sumber, makin kecil kuat medan gravitasinya.

Jika sebuah benda berada diantara beberapa benda lain, maka besar percepatan gravitasi yang dialami benda tesebut merupakan vektor resultan dari percepatan gravitasi yang ditimbulkan oleh masing-masing benda.

Latihan 2 :

1. Hitunglah besar percepatan gravitasi di permukaan bumi, jika diketahui massa bumi  dan jari-jari bumi 6,0 x 10^24 kg dan jari-jari bumi 6,4 x 10^6 m.
2. diketahui percepatan gravitasi di permukaan bumi 10 m/s2. berapakah percepatan gravitasi di titik yang berada pada ketinggian R/2 dari permukaan bumi, dimana R adalah jari-jari bumi.
3. sebuah planet memiliki massa 10 kali massa bumi dan memiliki diameter 4 kali diameter bumi, berapa percepatan gravitasi dipermukaan planet tersebut, jika percepatan gravitasi di permukaan bumi adalah g.
4. Dua buah benda A dan B masing-masing bermassa mA = 900 kg dan mB = 400 kg, terpisah pada jarak 50 cm satu dengan yang lain. titik P berada diantara kedua benda tersebut. tentukan letak titik P dari benda A sehingga pada titik P tersebut percepatan gravitasi yang disebabkan oleh kedua benda tersebut sama dengan nol.
5. tentukan letak titik di atas permukaan bumi sehingga percepatan gravitasi pada titik tersebut 1/9 kali percepatan gravitasi di permukaan bumi. (nyatakan dalam R = jari-jari bumi)
6. tiga benda beramassa berada pada sudut-sudut sebuah bujur sangkar seperti ditunjukkan pada gambar.

   tentukan besar percepatan gravitasi yang terjadi pada benda dititik D akibat ketiga benda disekitarnya tersebut !